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By Dr. rer. nat. Gerd Fischer (auth.)

Buchhandelstext
Dieser Band enthält Anwendungen der linearen Algebra auf geometrische Fragen. Ausgehend von affingen Unterräumen in Vektorräumen werden allgemeine affine Räume eingeführt, und es wird gezeigt, wie sich geometrische Probleme mit algebraischen Hilfsmitteln behandeln lassen. Ein Kapitel über lineare Optimierung befaßt sich mit Systemen linearer Ungleichungen. Mit Hilfe der elementaren Theorie konvexer Mengen kann guy die Optimierung eines linearen Funktionals auf die Lösung linearer Gleichungssysteme zurückführen. Anschließend wird der für praktische Anwendungen so wichtige Simplex-Algorithmus abgeleitet. Besonderer Wert wird dabei auf einen Einblick in die geometrischen Zusammenhänge gelegt. Durch den projektiven Abschluß affiner Räume enthält guy den angemessenen Rahmen für das Studium von Sätzen aus der klassischen Geometrie. Durch viele Zeichnungen, Beispiele und Übungsaufgaben wird versucht, das Lesers Liebe zur Geometrie zu vertiefen. Affine Geometrie - Konvexe Mengen und lineare Optimierung - Projektive Geometrie

Inhalt
Inhalt: Affine Geometrie - Konvexe Mengen und lineare Optimierung - Projektive Geometrie.

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3. Kollineationen Definition. Sei K ein Körper. Eine bijektive Abbildung a: K ..... K heißt Automorphismus von K, wenn ftir alle A, p. ) Offensichtlich sind diese Bedingungen für die komplexe Konjugation erftillt. Zunächst ein erfreuliches Ergebnis: Satz. Der einzige Automorphismus des Körpers IR der reellen Zahlen ist die Identität. Beweis. Sei a ein Automorphismus von IR. Aus Al folgt a(O)=O unda(-A)=-a(A) ftirAEIR, und aus A2 folgt a(l)= 1, also a(n)=n ftir nE71 Als nächstes zeigen wir a(p)=p ftirpE

Bemerkung. Fix(f) C X ist ein affiner Unterraum. Beweis. Ist Fix(f) oF fJ, so wählen wir ein pE Fix(f). Dann ist {PJt E T (X): xE Fix(f)} = {PJt E T (X): PJt = T (f) (PJtn also ist dies ein Untervektorraum von T (X). Man kann dies auch mit Hilfe von Koordinaten auf den Fall X = Kn zurückfUhren. In diesem Fall gibt es eine (n X n)-Matrix A und eine Spalte b, so daß f: K n -> K n , X 1-+ b + Ax Also ist und dies ist als Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ein affiner Unterraum. Übungsau[gabe 1.

Seien P=(Xt, ... ,Xn)EK n Po = (x~O), ... , x~O», auf einer Geraden gelegen und sei Po i E {I, ... , n} und es gilt x. - x~O) TV(po,pt,p) = (:) _ Xi 1 (0) Xi * Pt. 2. S. Wir wollen an sehr einfachen Beispielen erläutern, wie man mit Hilfe von affmen Koordinaten Aussagen der elementaren ebenen Geometrie schnell einsehen kann. 1. Die Diagonalen eines Parallelogramms schneiden sich in den Mittelpunkten. 21). e ~--------jV - IP o 2. Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt und teilen sich im Verhältnis 2: 1.

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